DM année scolaire 2006-2007
Voici la liste des devoirs à faire chez soi, posés
aux élèves cette année. La plupart de ces
énoncés proviennent de sujets de concours, ou
inspirés par diverses sources, que je n'ai pas
notées.
Si un auteur reconnait son travail et qu'il n'est pas cité, je
m'en excuse. Il lui suffit de m'envoyer un mail à "
gilbertroux@free.fr" précisant l'énoncé
concerné. Et je modifierai la page, pour citer alors la
référence.
DM 1 : Somme de cos ; Méthode de Cardan (trigo - nombres complexes)
DM 2 : Etude fonction avec Arctan,
intégrale ; Inversion de pôle O (Arctan -
géométrie plane - complexes)
DM 3 : Une équa diff
linéaire du 1er ordre ; résolution des équations
différentielles y"+a(x)y'+b(x)y=0 (équa diff
linéaires)
DM4 : Une équa diff linéaire du
second ordre ; tracé d'une courbe en polaire ; tracé
d'une courbe paramétrée plus considérations
géométriques.
DM5 : Une conique comme ensemble de points ; une
courbe en polaires ; Podaire d'une ellipse, d'une hyperbole, d'une
courbe en polaires.
DM6 : Une étude d'une suite récurrente (d'après http://mpsiddl.free.fr/pbsup.php)
DM7 : Un équivalent de factorielle
n ; résolution d'une équation fonctionnelle : f(x + y
)+f(x - y) = 2f( x )f( y )
DM8 : Un endomorphisme de R4, noyau de Ker(f-k
id) ; Problème : fonction continue et injective, fonction
strictement croissante et surjective.
DM9 : La fonction x:->x.sin(1/x) est
uniformément continue sur R ; étude d'une fonction ;
endomorphismes pseudo inversibles.
DM10 : Etude des couples de réels
strictement positifs tels que x^x=y^y ; f et g deux fonctions ayant
même valeurs en a et en b, et f'(a)>g'(a) et f'(b)<g'(b).
Alors f-g s'annule en un
autre point c.
DM11 : Etude des sous-groupes de (R ; +), densité.
DM 12 : Les polynômes d'interpolation de Lagrange, et applications.
DM 13 : Intégrales de
t^(2p)(1-t²)^g sur [0;1] ; Polynômes
P_n=1-lamnda_nX^n(1-X)^n. Application à la recherche de svaleurs
approchées de Pi, procédure Maple.
DM 14 : Matrices nilpotentes, exponentielle d'une matrice nilpotente.
DM 15 : Quelques propriétés
des matrices tridiagonales symétriques. Résolution d'un
système à matrice tridiagonale symétrique
associée.
Tridiagonalisation d'une matrice
symétrique. Résolution d'un système
linéaire à matrice symétrique associée.
DM16 : Produit nul de 3 matrices. //
On considère une fonction f à valeurs
réelles positives, de classe C1 sur le segment [-2;-1]
et vérifiant la relation f'(-1)=f(-2).
On
se propose dans ce problème de la prolonger en une
fonction F à valeurs réelles de classe C1 et
vérifiant la relation F'(x)=F(x-x^2) pour x >= -1.
DM17 : Etude des similitudes vectorielles en
dimension n, puis retour en dimension 2 // L'algèbre des
quaternions, à partir des matrices (z1,-conj(z2) // z2
, conj(z1)) . Etude de
H ev réel
des matrices de ce type. Un produit scalaire et une projection
orthogonale. // intégrale de 0 à 2pi de
1/(acos(x)+sin(x)+2)
DM18 : Ensembles des coupes de rationnels tels
que x^x=y^y ; Encadrement de Pi(n) en fonction de ln(n)/n, où
pi(n) est le nombre d'entiers premiers inféireurs ou
égaux à n.
DM19 : A propos des fontions harmoniques.